Merkezi Limit Teoremi
Central Limit Theorem (CLT)
Tanım
Bağımsız ve aynı dağılımdan gelen rasgele değişkenlerin toplamının veya ortalamasının, örneklem boyutu yeterince büyük olduğunda, dağılım şekline bakılmaksızın yaklaşık olarak normal dağılıma uyacağını belirten temel istatistiksel teorem.
Örnek Vaka / Uygulama
Bir fabrikanın ürettiği 100.000 vidanın uzunluk dağılımı sağa çarpık ve düzensiz olsun. Bu fabrikadan rastgele seçilen 50 vidalık yüzlerce farklı örneklem alıp her birinin ortalama uzunluğu hesaplandığında, bu örneklem ortalamalarının dağılımının mükemmele yakın bir normal dağılım (çan eğrisi) sergilediği görülür.
Derin Analiz
Merkezi Limit Teoremi (CLT), olasılık kuramı ve istatistiki çıkarımın omurgasını oluşturur. Popülasyonun orijinal dağılımı (çarpık, uniform, bimodal vb.) ne kadar normalden uzak olursa olsun, yeterli büyüklükteki (genellikle n ≥ 30) örneklemlerin ortalamalarının dağılımının çan eğrisine (normal dağılım) yaklaşacağını matematiksel olarak garanti eder. Bu mekanizma, parametrik testlerin (t-testi, ANOVA vb.) evren parametrelerini kestirmede ve hipotez testlerinde güvenle kullanılabilmesinin temel dayanağıdır. Sonsuz sayıda bağımsız rasgele değişkenin varyanslarının sonlu olması koşuluyla, standartlaştırılmış toplamlarının standart normal dağılıma yakınsadığını (Lindeberg-Levy teoremi bağlamında) ifade eder.
Etimoloji
Latince 'centralis' (merkezde yer alan) ve 'limes' (sınır, uç nokta) kelimelerinin modern matematik ve olasılık teorisindeki birleşimi.
Karıştırmayın
Büyük Sayılar Yasası (Law of Large Numbers) ile sıklıkla karıştırılır; Büyük Sayılar Yasası örneklem ortalamasının gerçek evren ortalamasına yaklaşacağını söylerken, Merkezi Limit Teoremi bu ortalamanın dağılımının şeklinin normal dağılıma uyacağını açıklar.